Low Pass Filter dan High Pass Filter pada Pengolahan Citra Digital

Perbedaan domain spasial dengan domain frekuensi :

Domain Spasial	Domain Frekuensi
Konsep koordinat baris dan kolom.	Konsep frekuensi, perubahan intensitas piksel ke piksel (frekuensi rendah dan tinggi).
Pemrosesan pixel-by-pixel.	Pemrosesan berdasarkan pemilihan frekuensi yang akan difilter atau tidak.
Komputasi lama (terutama citra dengan ukuran spasial tinggi).	Komputasi relatif cepat (terutama citra dengan ukuran spasial tinggi)

Sembarang sinyal spasial mempunyai representasi frekuensi, termasuk pada sebuah citra. Makna frekuensi dalam citra adalah :

• Komponen frekuensi tinggi dikaitkan dengan perubahan piksel ke piksel secara cepat sepanjang citra. Misal: teks, tekstur, dsb.
• Komponen frekuensi tinggi dikaitkan dengan fitur berskala besar pada citra. Misal: daerah dengan intensitas konstan, atau piksel yang jumlahnya mendominasi dalam seluruh daerah citra.

Karena citra adalah gelombang diskrit, maka citra tersebut harus ditransformasikan ke dalam bentuk frekuensi dengan menggunakan Discreate Fourier Transform (DFT).

Untuk citra 2 dimensi, DFT yang digunakan:

 

Sedangkan inverse DFT (transformasi sinyal frekuensi menjadi sinyal diskrit) digunakan :

Karena nilai FT adalah bilangan kompleks, kadang-kadang kita nyatakan F(u) dalam koordinat polar:

 Dimana jarak atau spektrum dinyatakan dengan:

 Sudut fase dnyatakan oleh:

Dasar untuk filter linear dalam domain spasial dan frekuensi adalah teori konvolusi, yang dapat dituliskan dengan:

Seperti halnya teori konvolusi, juga bisa mendapatkan hasil yang sama dalam domain frekuensi dengan perkalian antara F(u,v) dengan H(u,v).

Lowpass Filter

Low-pass filtering merupakan metode penghalusan sebuah sinyal atau citra. Smoothing / blurring / penghalusan dicapai dalam domain frekuensi dengan pelemahan frekuensi tinggi. Smoothing dapat membantu menghilangkan noise, karena  noise / interference disebabkan oleh frekuensi tinggi.

Ideal Lowpass Filter (ILPF)

Filter lowpass 2-D yang melewatkan tanpa pelemahan semua frekuensi rendah dalam lingkaran radius D₀ dari origin dan dengan cutoff semua frekuensi di luar lingkaran disebut Ideal Lowpass Filter (ILPF) yang ditentukan oleh fungsi :

di mana D₀ adalah konstanta positif jarak origin dan D(u,v) adalah jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi, maka:

Butterworth Lowpass Filter

Fungsi Butterworth lowpass filter (BLPF)  dari order n, dan dengan cutoff frekuensi pada jarak D₀ dari origin, didefinisikan sebagai:

D(u,v) adalah jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi, dimana :

Gaussian Lowpass Filter

Gaussian lowpass filter (GLPF) akan menelusri keterkaitan domain spasial dan domain frkuensi, yang dituliskan dalam bentuk :

D₀ merupakan jarak dari origin dan D(u,v) adalah jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi, dimana :

Highpass filtering

High-pass filtering merupakan kebalikan dari low-pass filtering, yaitu  metode yang membuat sebuah sinyal atau citra menjadi kurang halus. Metode yang digunakan adalah melakukan pelemahan dalam domain frekuensi yang memiliki frekuensi rendah. highpass filtering biasa digunakan untuk Unsharp Masking, Deconvolution, Edge Detection, mengurangi blur, atau menambah noise. (Morse, 2010 )

Ideal Highpass Filter (IHPF)

Ideal Highpass Filter melewatkan semua frekuensi tinggi dan melakukan cutoff semua frekuensi rendah. IHPF 2-D dituliskan dalam bentuk :

di mana D₀ adalah konstanta positif jarak origin dan D(u,v) adalah jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi, maka:

Butterworth Highpass Filter

Fungsi Butterworth highpass filter (BHPF) dari order n, dan dengan cutoff frekuensi pada jarak D₀ dari origin, didefinisikan sebagai:

D(u,v) adalah jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi, dimana :

Gaussian Highpass Filter

Fungsi Gaussian highpass filter (BHPF) dari order n, dan dengan cutoff frekuensi pada jarak D₀ dari origin, didefinisikan sebagai:

D₀ merupakan jarak dari origin dan D(u,v) adalah jarak antara titik (u,v) dalam domain frekuensi dan pusat persegi panjang frekuensi, dimana :